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Imagine uma chávena de chá. Enrole um pedaço de fio ao redor da circunferência da chávena e meça o comprimento, o perímetro. Em seguida, coloque a sua colher em cima do recipiente, certificando-se de que ela passa pelo centro da chávena, e meça o comprimento de um lado ao outro, o diâmetro. Por fim, divida o perímetro da circunferência pelo diâmetro e registe o resultado. Da próxima vez que comer sopa numa tijela, repita o processo.

Assim descobrirá que as razões entre o perímetro da circunferência e o seu diâmetro em ambos os casos são notavelmente próximas uma da outra. Se decidir experimentar com outras formas circulares, descobrirá que, não importa quão grandes ou pequenos elas sejam, desde que sejam redondas, as proporções serão todas muito próximas de 3,14. Isto quer dizer que acabou de se deparar com uma lei universal para objetos circulares.

A letra grega π (pi) foi introduzida em 1706 para denotar essa razão constante entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro pelo matemático galês William Jones em 1706.

Embora π exista pela constância do resultado da divisão da circunferência pelo diâmetro para todos os círculos, é importante notar que essa constância não é tão universal quanto os gregos antigos pensavam. Para círculos desenhados em superfícies curvas, como a superfície esférica da Terra, a divisão não é constante, e π deixa de existir. Digamos que π só se aplica a superfícies euclidianas, superfícies de geometria plana.

Arquimedes calculou que π ficava entre 223/71 e 22/7, portanto entre 3,140 e 3,142, enquanto Ptolomeu determinou a primeira aproximação correta com três casas decimais: 3,141. Foram alcançadas por matemáticos chineses, melhorias em sete casas, no século V d.C., com base numa nova técnica descoberta no século III pelo matemático e escritor Liu Hui. Seria necessário esperar um milénio para serem atingidos novos avanços significativos pelo matemático indiano do século XIV Madhava de Sangamagrama que conseguiu atingir 11 casas decimais.

O progresso acelerado devido a melhores ferramentas analíticas, nomeadamente computadores modernos, permitiu, em agosto de 2021, o recorde de cerca de 62 triliões de dígitos. É um número irracional, o que significa que não pode ser expresso como a razão de dois inteiros, por mais que as frações se aproximem.

Consequentemente, a sua representação decimal nunca acaba, nem entra num padrão que se repita permanentemente. Também é um número transcendente, ou seja, não é a solução de uma equação que envolva apenas infinitas somas, produtos e potências. Este último facto implica que resolver o antigo problema da quadratura do círculo com régua e compasso é impossível. Os dígitos decimais de π são aparentemente distribuídos aleatoriamente, mas nenhuma prova para essa conjetura foi encontrada.

Pelo facto de a sua definição estar relacionada com a circunferência, π é encontrado em muitas fórmulas de trigonometria e geometria, especialmente aquelas relacionadas com circunferências, elipses e esferas. Para além disso, o número π aparece em diversas fórmulas matemáticas e físicas. A constante pode ser encontrada em tópicos da ciência, como cosmologia, fractais, termodinâmica, mecânica clássica, mecânica quântica e eletromagnetismo. Também aparece em áreas pouco relacionadas com a geometria, como a teoria dos números e estatística, e na análise matemática moderna.

A ubiquidade de π faz com que seja uma das constantes matemáticas mais amplamente conhecidas dentro e fora da ciência. Vários livros dedicados a π foram publicados, e cálculos de recorde dos dígitos de π frequentemente resultam em manchetes de notícias.

O número π é simples de definir e representa uma constante geométrica fundamental. Ao mesmo tempo, computá-lo foi um desafio para alguns dos melhores matemáticos que já viveram. Em certo sentido, ele nunca pode ser totalmente capturado por cálculos simples. Esses fatores contribuem para o fascínio de π e representa uma fonte da sua influência contínua na nossa sociedade.

Existe uma obra de arte estritamente matemática, a fórmula:

e^iπ + 1 = 0

Ela reúne, numa única expressão, as cinco constantes mais notáveis (e, π, i, 1 e 0) e é considerada a fórmula mais bela das ciências matemáticas. O primeiro que a deu a conhecer, para além de a ter demonstrado, foi Leonhard Euler.

Devido à notação dos Estados Unidos da América para a data (mês/dia/ano), foi estabelecido o dia 14 de março para o dia do π (3/14). Dia que corresponde também ao nascimento de Albert Einstein e à morte de Stephen Hawking, dois dos maiores físicos de sempre.